Verwendung des Black-Scholes-Modells

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Verwendung des Black-Scholes-Modells

Das Black Scholes Modell ist auch heute noch ein vielfach verwendetes Instrument zur Ermittlung von fairen Preisen für Optionen. Es ermöglicht vergleichsweise einfache Berechnungen und bringt einigermaßen gute Resultate, daneben gibt es auch noch einige weitere Gründe dafür, warum gerade Banken das Modell immer noch relativ häufig verwenden. Man muss bei der Anwendung allerdings auch immer die Schwächen des Black-Scholes-Modells im Auge haben.

Mögliche Ungenauigkeiten bei der Berechnung über das Black Scholes Modell

Es sind besonders zwei Schwachpunkte, die man deutlich festmachen kann: einerseits die nicht korrekt berücksichtigte Volatilität und andererseits die Verwendung der Normalverteilung im Modell, wenn es um die Berechnung der Renditen geht.

Am schwersten wirkt die Annahme einer immer konstanten Volatilität bei den Berechnungen. Betrachtet und analysiert man aber vergangene Vorgänge, wird klar deutlich, dass die Volatilität eben nicht konstant ist, sondern im Zeitablauf schwanken kann. Der mit ? (Sigma) bezeichnete Volatilitätsfaktor im Black-Scholes-Modell wird allerdings bei der Berechnung als konstant angenommen. Das produziert Ungenauigkeiten im Ergebnis, da die Volatilität immer von der Restlaufzeit, aber auch von der Moneyness jeweils abhängig ist.

Die Annahme, dass Renditen den Gesetzen der Normalverteilung folgen, ist ebenfalls eine vereinfachende Annahme des Modells. Das Gewicht, das mögliche extreme Ereignisse theoretisch haben können, wird dadurch innerhalb des Modells zu gering berücksichtigt. Auch das führt zu Ungenauigkeiten beim Preis.

Mögliche Genauigkeitserhöhung

Wenn man statt mit konstanter Volatilität mit sogenannten impliziten Volatilitäten rechnen möchte, kann man das sogenannte Newton-Raphson-Verfahren verwenden, um in nur wenigen Rechenschritten schon einen guten Näherungswert für die implizite Volatilität erhalten. So genaue Ergebnisse wie bei erweiterten Modellen, etwa dem CEV-Modell, werden allerdings mit Näherungen nicht erzielt.

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Daneben existieren zahlreiche Erweiterungen des Modells, die neben unterschiedlich genauen, impliziten Volatilitäten etwa auch Dividendenzahlungen oder wechselnde Zinssätze, berücksichtigt werden können. Durch solche Erweiterungen kann das Berechnen eines Optionspreises aber hochkomplex und sehr aufwändig werden.

Anwendung des Black-Scholes-Modells bei Banken

Für wenig komplexe und einfach gestaltete Produkte verwenden gerade Banken heute noch immer das Black-Scholes-Verfahren, da es im Vergleich zu anderen Modellen immer noch relativ einfach zu rechnen ist, selbst wenn einige Erweiterungen zur Anwendung kommen. Mithilfe von Computern sind solche Berechnungen auch relativ schnell zu jedem beliebigen Zeitpunkt durchzuführen, während andere Modelle einen teilweise deutlich höheren Rechenaufwand erfordern würden.

Was man bei Banken allerdings berücksichtigen muss, ist, dass teilweise bei der Volatilität höhere Schwankungen angenommen werden, als die Black-Scholes-Formel eigentlich ergibt. Dadurch können Banken (minimale) Gewinne machen und damit eine kleine Marge in das Produkt einbauen, wenn sie es (vor allem an Privatkunden) verkaufen. Diese Margen betragen nur einige wenige Prozent der Volatilität, im Maximalfall kann man von 5 % ausgehen. Zu Preisverschiebungen beim Optionspreis kommt es aber dennoch.

Die Griechen als Ableitungen aus dem Black-Scholes-Modelle

In der Praxis werden heute auch vor allem die Ableitungen aus der Black-Scholes-Gleichung verwendet, die sogenannten Griechen. Sie werden vor allem im Bereich des Risikomanagements verwendet. Die Griechen sind die einzelnen (mit griechischen Buchstaben bezeichneten, daher der Name) Parameter innerhalb der Formel. In dem jeder Parameter einzeln betrachtet wird, kann man das Risiko nach jedem Parameter einzeln untersuchen und absichern (etwa beim Delta-Hedging oder Gamma-Hedging).

Für diese Anwendung der Black-Scholes-Formel, die Griechen, gibt es in der Praxis keine brauchbaren und ebenso einfachen und exakt berechenbaren Alternativen. Im Bereich der Risiko-Absicherung sind die Griechen also praktisch die Standardberechnungen.

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