Wie berechnet man den Wert von Optionen mit dem Black Scholes Modell?

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Wie berechnet man den Wert von Optionen mit dem Black Scholes Modell?

Das Black Scholes Modell ist ein vergleichsweise einfaches Modell, dass die Berechnung eines fairen Optionspreises mathematisch relativ genau ermitteln lässt. Dafür kann man die grundlegende Preisformel für einen Put oder Call verwenden (das Black Scholes Modell ist auch für einige andere Derivate anwendbar, dementsprechend gibt es auch noch weitere Ableitungen.

Wichtig zu beachten

Das Black Scholes Modell kann nur Preise für europäische Puts oder Calls ausgeben. Bei Optionen nach amerikanischem Recht ist das Black Scholes Modell in dieser Form nicht anwendbar. Der Unterschied liegt darin, dass bei einer europäischen Option der Ausübungszeitpunkt ein einzelner, festgesetzter Zeitpunkt ist. Amerikanische Optionen können dagegen während der gesamten Laufzeit ausgeübt werden (manchmal mit geringen Einschränkungen), etwa zu einem Zeitpunkt, wo ein besonders günstiger Kurs herrscht. Dadurch ergeben sich weitaus höhere Gewinnchancen mit der Option, die sich dann natürlich auch in einem entsprechend höheren Preis niederschlagen. Je nach Länge der Laufzeit verringert sich der Preis dann aber entsprechend (je kürzer die Zeit desto geringer die theoretische Zahl der Gewinn-Gelegenheiten).

Die Berechnung kann also nur für europäische Optionen durchgeführt werden. Für amerikanische Optionen können Sie die unten stehende Preisformel nicht anwenden.

Ungenauigkeiten

In der ursprünglichen Form produziert die Preisformel einige kleinere Ungenauigkeiten, die daher rühren, dass für das Modell einige vereinfachende Annahmen getroffen wurden und einige Dinge unberücksichtigt bleiben. Das sind insbesondere:

  • schwankende Volatilitäten (abhängig von Restlaufzeit und Moneyness: at the money forward)
  • Dividendenzahlungen beim Basiswert
  • extreme Kursveränderungen
  • schwankende Zinssätze
  • Transaktionskosten und Steuern
  • Einschränkungen bei den Leerverkäufen

Es gibt zwar einige Erweiterungen für das Modell (und damit auch für die Preisformel), die diese Ungenauigkeiten etwas beheben, sie machen das Berechnen allerdings so aufwändig und kompliziert, dass wir sie in diesem Rahmen unberücksichtigt lassen. Bei der Berechnung eines Optionspreises durch Banken können Sie außerdem davon ausgehen, dass die Volatilität fast immer etwas höher angesetzt wird – damit die Bank mit den Optionen Profit machen kann. Im Allgemeinen sind bis zu 5 % Aufschlag auf die tatsächliche Volatilität zu erwarten. Dadurch verkaufen Banken Optionen oft teurer, als eine Berechnung nach Black Scholes (mit einigen üblichen Erweiterungen) ergeben würde.

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Die Preisformel nach Black Scholes

Grundlegend kann man den Preis einer Option zu einem bestimmten Basiswert (unabhängig ob Put oder Call) mithilfe foldender Formel berechnen:

P = K e -r(T-t)?(-d2)-S?(-d1)

Der Preis (P) der Option lässt sich also mithilfe folgender Werte berechnen:
K … ist der vereinbarte Basispreis, der im Vertrag festgelegt ist
S … ist der aktuelle Aktienkurs zum Berechnungszeitpunkt
r… ist der Zinssatz (kongruent zur Restlaufzeit)
T … Gesamtlaufzeit der Option
t … Zeitpunkt des Optionsverkaufs (“T-t” ist damit die verbleibende Restlaufzeit)
? … ist die Verteilungsfunktion für die Standardnormalverteilung

d1 und d2 müssen separat berechnet werden, wobei sich d2 einfach aus d1 berechnen lässt.
d2 = d1 – ? ?(T-t)
? ist dabei die zukünftige, erwartete Volatilität. In der einfachen Formel wird sie als konstant angenommen. Möchte man genauere Ergebnisse, kann man anstatt dem ? einen Näherungswert für implizite Volatilitäten verwenden.

Die Berechnung von d1 ist etwas komplexer:

d1 = ln(S/K)+(r+?²/2)(T-t) : ?*?(T-t)

Durch das Einsetzen der entsprechenden Werte erhält man einen Preis für die jeweilige Option.

Berechnungsprogramme

Da ohne ausreichende mathematische Kenntnisse ein selbst Berechnen sehr schwierig ist, kann man auch auf bereits fertig gestaltete Berechnungsprogramme zurückgreifen. Dort werden nur die relevanten Werte eingegeben, und das Programm berechnet automatisch die Werte.

Ein sehr einfach zu bedienendes Rechenprogramm wird von der Uni Mainz zur Verfügung gestellt unter

http://www.finance.uni-mainz.de/542.php

Auch bei Eurexchange gibt es ein (sehr übersichtliches) Berechnungsprogramm, das zudem auch mit impliziten Volatilitäten und Dividendenzahlungen rechnen kann und auch alle Griechen berechnet:

http://www.eurexchange.com/static/dav/Option_master/de/index.html

 

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