So wie auch das Black-Scholes-Modell dient auch das Binominal-Modell dazu, die Preise von Optionen als faire Preise zu bestimmen. Im Vergleich zum Black Scholes Modell ist das Binominal Modell aber deutlich leichter anzuwenden und zu rechnen. Beide Methoden werden verwendet, um zu einer gerechten Preisfindung (fair price) einer Option zu kommen – bezogen auf den aktuellen Tag.
Allgemeine Probleme beim Berechnen
Die grundlegende Schwierigkeit beim Aushandeln eines fairen Optionspreises liegt ja darin begründet, dass sich Preise sekündlich ändern. Es geht prinzipiell also um die Festsetzung eines fairen Optionspreises für den jeweiligen Tag. Wenn möglich sollen Arbitrage-Effekte ja ausgeschlossen werden – das heißt, dass jemand an unterschiedlichen Märkten die gleichen Optionen zu unterschiedlichen Preisen kauft und verkauft und so (minimale, aber stetige) Gewinne erzielt. Assets mit den gleichen Payoff-Strukturen müssen am selben Tag also auch immer den gleichen Preis haben.
Um einen gerechten Wert für den jeweiligen Tag festzulegen, muss man sich also auf ein Berechnungsschema stützen. Das Binominal-Modell ist eines davon, das Black Scholes Modell ein anderes.
Die Berechnungsgrundlage für das Binominal Modell
Grundlegend geht man einmal von einem gesetzten Preis aus. Am nächstfolgenden Tag (oder einer beliebig festgesetzten Zeiteinheit) kann sich der Kurs des Underlying um einen bestimmten Wert erhöhen oder um einen bestimmten Wert erniedrigen. Dafür gibt es jeweils bestimmte Wahrscheinlichkeiten.
Etwas praktischer illustriert sieht das Ganze so aus:
— mit der Wahrscheinlichkeit p erhöht sich der Kurs um den Wert “u” —
Startwert S neuer Wert
— mit der Wahrscheinlichkeit 1-p verringert sich der Kurs um den Wert “d” —
An diesen Zeitraum schließt sich wiederum der nächste Zeitraum an. Man kann die Analyse im Binominal-Modell immer weiter verfeinern, indem man die Zeiteinheiten jeweils immer kleiner wählt. Die jeweils gewählte Zeitstrecke, die betrachtet wird (Tag, Stunde, ….) wird in der Finanzmathematik mit ?t (Delta t) angegeben.
Angegeben wird also der Preis der Option bei Steigen oder Fallen des Aktienkurses oder anderen Kurses (des Underlying). Das stellt eine Vereinfachung gegenüber dem Black Scholes Modell dar, da hier nur die Veränderung eines einzelnen Parameters (nämlich des Basiswert Kurses) analysiert wird.
Komplexere Berechnungen: Mehrstufiges Binominal-Modell
Man kann das Binominal-Modell auch erweitern, indem man nicht nur die Zeiträume kürzer setzt, sondern gleich mehrere Zeiträume betrachtet. Von einem Zeitpunkt zum nächsten kann sich jeweils eine positive oder eine negative Entwicklung ergeben.
Dadurch entsteht eine Art Baum, weil sich ja von einem einzelnen Zeitpunkt aus immer zwei Möglichkeiten (steigender und fallender Kurs) ergeben. Diese Baumdiagramme kann man rekombinierend oder nicht rekombinierend anlegen.
Der Unterschied liegt in der Berechnung der einzelnen Werte. In der Regel wird rekombinierend verfahren, das heißt, die Wahrscheinlichkeiten von einem Zeitpunkt zum nächsten ( p und p-1) werden miteinander aufgerechnet, um zu einem Ergebnis zu kommen. In dieser Form ist das mehrstufige Binominal-Modell das in der Finanzmathematik am weitesten verbreitete Modell überhaupt.
Die Berechnungen des Black Scholes Modells werden dabei diskretitiert – das heißt, es wird nur ein Teil der möglichen kontinuierlichen, sich verändernden Werte verwendet, um zu einer übersichtlichen Teilmenge zu kommen. Aus sich stetig verändernden Werten wird praktisch eine Perlenkette aus Einzelwerten zu bestimmten Zeiten gemacht. Für die Genauigkeit hat das einen vernachlässigbar geringen Einfluss, da es ja um das Aushandeln eines fairen Preises für eine Option auf einer anerkannten Berechnungsgrundlage geht.
Unterschiede zwischen amerikanischen und europäischen Optionen
Bei amerikanischen Optionen ist der Wert immer abhängig vom Zeitpunkt, wann die Option ausgeübt wird, Bei europäischen Optionen ist dieser Zeitpunkt von vornherein festgelegt und damit immer fest gegeben. Auch das muss man bei Berechnungen berücksichtigen.
Weiterführende Links
- Vergleichsrechner für Online-Broker
- Das Dreifaktorenmodell
- Was ist das CAPM?
- DieKleinanleger-Strategie zur Kapitalanlage
- Binäre Optionen
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